Теорема Эйлера и следствие из неё

Теорема Эйлера говорит о соотношении между количеством вершин, ребер и граней многогранника. Она впервые появилась в журнале Петербургской Академии наук в работах Леонарда Эйлера "Элементы учения о телах" и "Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями".

Теорема Эйлера:
Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его ребер и Г - число граней. Тогда верно равенство

В - Р + Г = 2

Число х = В - Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То, что эйлеровая характеристика равна 2 для многих многогранников, видно из следующей таблицы:

Многогранник В Р Г х
тетраэдр 4 6 4 2
куб 8 12 6 2
n-угольная пирамида n +1 2n n +1 2
n-угольная призма 2n 3n n +2 2

Имеется много доказательств теоремы Эйлера. В одной из них используется формула для суммы углов многоугольника. Рассмотрим это доказательство. Возьмем с наружи многогранника точку О вблизи от какой-либо грани F и спроектируем остальные грани на F из центра О (рис. 9). Их проекции образуют разбиение грани F на многоугольники. Подсчитаем двумя способами сумму α углов всех полученных многоугольников и самой грани F. Сумма угов n-угольника равна π(n - 2). Сложим эти числа для всех граней (включая грань F). Сумма членов вида πn равна общему числу сторон всех граней, т.е. 2Р- ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г слагаемых, α = π(2Р - 2Г). Теперь найдем сумму углов при каждой вершине разбиения и сложим эти суммы. Если вершина лежит внутри грани F, то сумма углов вокруг нее равна 2π. Таких вершин В-k, где k- число вершин самой грани F, а значит, их вклад в равен 2π(В - k). Углы при вершинах F считаются в сумме дважды (как углы F и как углы многоугольников разбиения); их вклад равен 2π(k - 2). Таким образом, α = 2π(B - k) + 2π(k - 2) = 2π(B - 2). Приравнивая два результата и сокращения на 2π, получаем требуемое равенство Р - Г = В - 2.
Следствие из теоремы Эйлера

Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С её помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется топологией.


Во время работы над своей теоремой Эйлер вывел из неё несколько утверждений, относящихся к выпуклым многогранникам:

  1. Р + 6≤ 3В и Р + 6≤ 3Г;
  2. Г + 4≤ 2В и В + 4≤ 2Г;
  3. У всякого многогранника есть хотя бы одна треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань, а также хотя бы один трехгранный, четырехгранный или пятигранный пространственный угол;

  4. Сумма плоских углов всех граней многогранника равна 2πВ- 4π.

    Докажем некоторые из следствий.

  5. Доказать утверждение 1) (Р+6≤ 3В).

    Доказательство:

    Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде

    Р + 2 = В + Г
    И другой раз в виде
    4 = 2В - 2Р + 2Г
    Складывая эти равенства, получаем
    Р + 6 = 3В + 3Г - 2Р

    Так как у каждой грани многогранника не менее трех сторон, то 3Г≤ 2Р. Отсюда сразу получаем Р + 6≤ 3В.

    Утверждение 1) доказано.

  6. Доказать утверждение 4).

    Доказательство:

    Обозначим через Гi число i-угольных граней в многограннике М. Ясно, что

    Г = Г3 + Г4 + Г5 + ┘ (1)

    Ясно также, что каждая i-угольная грань содержит i ребер многогранника. С другой стороны, каждое ребро многогранника принадлежит в точности двум граням. Поэтому в сумме 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + ┘ каждое ребро многогранника подсчитано, причем подсчитано дважды. Отсюда имеем

    2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 +┘ (2)
    Рассмотрим теперь сумму S плоских углов многогранника:
    S = Г3 ╥π + Г4 ╥ 2π + Гi ╥ ( i -2 )π + ┘ (3)
    С учетом соотношений (1) и (2) и теоремы Эйлера соотношение (3) можно переписать так:

    S = Г3 ( 3 - 2 )π + Г4 (4 -2 )π + Гi ( i - 2 )π + ┘ = 2Рπ - 2Гπ = 2Вπ - 4π.

    Утверждение 4) доказано.

Как отмечал Эйлер в одной из своих работ, многоугольники на плоскости можно классифицировать по числу сторон (или, что все равно, по числу вершин): треугольники, четырехугольники и т. д., в то время как анологичный вопрос описания многогранников оказывается гораздо сложнее. Теорема Эйлера помогает немного разобраться в этом вопросе.

Например, из теоремы Эйлера, можно вывести, что если все грани выпуклого многогранника есть треугольники, причем в некоторых вершинах они сходятся по шесть, а во всех остальных по пять граней, то вершин, в которых сходятся пять граней, будет ровно двеннадцать. Естественно спросить, а сколько при этом у многогранника вершин, в которых встречается шесть многоугольников. Канадский математик Бранко Грюнбаум обнаружил, что при тех же предположениях число вершин, в которых встречается шесть треугольных граней, может быть любым, кроме единицы.